Medidas de dispersão

Medidas de dispersão

Já estudamos as medidas de tendência central mais usadas, como a media aritmética, a moda, e a mediana. Elas têm como objetivo concentrar em um único número os diversos valores de uma variável quantitativa.

 Neste item estudaremos casos em que as medidas de tendência central são insuficientes.

Vejamos a seguinte situação:

O critério de aprovação em um concurso estabelece que o candidato deve realizar 3 provas e obter, com suas notas, média igual ou maior do que 6,0. Nesse caso, a informação de que o candidato obteve média 7,5 é suficiente para concluir que ele está aprovado.

Consideremos agora outra situação:

Uma pessoa é encarregada de organizar atividades de lazer para um grupo de 6 pessoas e recebe a informação de que a média de do grupo é 20 anos. Nesse caso, apenas a informação da media não é suficiente para planejar as atividades, pois podemos ter grupos com média de idade de 20 anos e características diferentes.

Observe alguns grupos possíveis:

·         Grupo A: 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos.

    

  

·         Grupo B: 22 anos; 23 anos; 18 anos; 19 anos; 20 anos; 18 anos.
      

   

·         Grupo C: 6 anos; 62 anos; 39 anos; 4 anos; 8 anos; 1 ano.

   

Como a medida de tendência central não é suficiente para caracterizar o grupo c, é conveniente utilizar medidas que expressem o grau de dispersão de um conjunto de dados. As mais usadas são a variância e o desvio padrão.

Variância (V)

A ideia básica de variância é tomar os desvios dos valores x_i em relação à média aritmética ( x_i – MA ). Mas a soma desses desvios é igual a 0 ( por uma propriedade da média). Uma opção possível, então, é considerar o total dos quadrados dos desvios e expressar a variância (V) como a média dos quadrados dos desvios, ou seja:

Desvio padrão (DP)

O desvio padrão (DP) é a raiz quadrada da variância. Ele facilita a interpretação dos dados, pois é expresso na mesma unidade dos valores observados (do conjunto de dados).

No exemplo que estamos analisando, termos:

Resumido se x₁, x₂,...,x_n são os n valores de uma variável quantitativa x, temos:

   A média aritmética dos valores de x:  

  A variância de x:

O desvio padrão de x:

Observações:

1)     Quando todos os valores da variável são iguais, o desvio padrão é 0.

2)     Quanto mais próximo de 0 é o desvio padrão, mais homogênea é a distribuição dos valores da variável.

3)     O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável.

Exercícios propostos

34)Em um concurso o critério de aprovação leva em conta a média e o desvio padrão após a realização de 3 provas. Calcule a média e o desvio padrão de um candidato que nas provas obteve, respectivamente, 63 pontos, 56 pontos e 64 pontos.

RESPOSTA:

Desvio:

63+56+64 = 183

183/3=61

35)   Em uma classe as notas obtidas pelos alunos foram agrupadas da seguinte maneira:

0 |--- 2 (1 aluno);

2 |--- 4 (6 alunos);

4 |--- 6 (9 alunos);

6 |--- 8 (8 alunos);

8 |--- 10 (6 alunos).

a)     Construa o histograma;

b)    Construa o polígono do histograma;

c)     Calcule a média, a moda, a mediana e o desvio padrão.

    RESPOSTA: a e b