Medidas de tendência central

4 Medidas de tendência central

Com base na idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo.

Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só temperatura que fornece uma ideia aproximada de todo o período.

Em situações como essas, o número obtido é a medida da tendência central dos vários números usados. A média aritmética é a mais conhecida entre as medidas de tendência central. Além dela vamos estudar também a moda e a mediana.

Média aritmética (MA)

Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que:

MA= 22 + 20 + 21+ 24 + 20 = 107 = 21,4

                         5                   5

  Dizemos, então, que a média aritmética ou simplesmente a media de idade do grupo é 21,4 anos.

Se, ao medir de hora em hora a temperatura em determinado local, registrando-se 14ºC ás 6h, 15ºC ás 7h, 15ºC ÁS 8H, 18ºC ás9h, 20º C ás 10h e 23ºC ás 11h, observamos que:

MA= 14+15+15+18+20+23 = 105 = 17,5

                         6                   6

Dizemos, então, que no período das 6h ás 11h a temperatura média foi 17,5ºC.

No caso de um aluno que realizou diversos trabalhos durante o bimestre e obteve as notas7, 5,8,5; 10,0 e 7,0, observamos que:

MA= 7,5+8,5+10,0+7,0 = 33 = 8,25

                 4                    4

Dizemos, então que nesse bimestre o aluno teve média 8,25.

Assim, generalizando, podemos afirmar que, dados os n valores X1,X2,X3, ...Xn de uma variável, a media aritmética é o numero obtido as seguinte forma:

Média aritmética pondera

Vejamos agora, o caso de um aluno que realiza vários trabalhos com pesos diferentes, isto é, com graus de importância diferentes. Se no decorrer do bimestre ele obteve 6,5 na prova (peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 no trabalho de equipe (peso 2), a sua média, que neste caso é chamada média aritmética ponderada, será:

MP = 2.6,5 + 3.7,0 + 1. 6,0 +2.7,0 = 13 +21 +6 + 14 = 54  = 6,75

                         2 +3 +1 +2                        8               8   

Quando calculamos a média aritmética de números que se repetem, podemos simplificar. Dessa maneira, para obter a média aritmética de 7,7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11 e 11 observamos que:

MA = 3.7+5.9+2.11 = 21+45+22 = 88  = 8,8

            3+5+2                 10         10

 

     

Dizemos, então que 8,8 é a média aritmética dos números 7, 9 e 11 com frequência 3, 5 e 2 respectivamente.

Observe que também é um exemplo de média ponderada, com os pesos sendo a frequência 3,5 e 2.

                                                                                                                   

A média aritmética é usada como medida de tendência central, ou seja, como forma de, por meio de um único numero, dar uma ideia das características de determinado grupo de números. No entanto, é importante ressaltar que em algumas situações a presença de um valor bem maior ou bem menor que os demais faz com que a media aritmética não consiga traçar o perfil correto do grupo.

Consideremos por exemplo, um grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2, 50 anos. A média, que é de 10 anos, não demonstra as características desse grupo em termos de idade. Em casos como esse são usadas outras medidas de tendência central, como moda e a mediana.

Exercícios propostos

23) Um time de futebol realizou algumas partidas e os resultados foram 3 a 1, 4 a 2, 1 a 1, 0 a 0, 3 a 2, 2 a 1 e 1 a 0. Sabendo que o time não perdeu nenhuma partida, calcule a média dos gols:

a) marcados

RESPOSTA:   M = (3 + 4 + 1 + 0 + 3 + 2 + 1)/7

                       M = 14/7 = 2 

b)sofridos

RESPOSTA:  M = (1 + 2 + 1 + 0 + 2 + 1 + 0)/7

                      M = 7/7 = 1

24)Se um aluno já fez dois trabalhos e obteve 8,5 e 5,0 qual deve ser a nota do terceiro trabalho para que a média aritmética dos três seja 7,0?

RESPOSTA:8,5 + 5,0 + x / 3 =

                   7,0 13,5 + x = 21,0 x =

                   21,0 – 13,5 x =

                   7,5

25) Qual é a média de idade de um grupo em que há 6 pessoas de 14 anos, 9 pessoas de 20 e 5 pessoas de 16 anos?

RESPOSTA: (14.6 + 9.20 + 5.16) / (6 + 9 + 5) 344/20 = 17 anos 

26) Calcule a média de um aluno que obteve no bimestre 8,0 na prova (peso 2) 7,0 na pesquisa  (peso 3), 9,0 no debate (peso 1) e 5,0 no trabalho de equipe (peso 2).

 RESPOSTA: (8.2 + 7.3 + 9.1 + 5.2) / (2+3+1+2) 16+21+9+10 / 8  56 / 8 = 7

27) A média das idades dos 11 funcionários de uma empresa era de 40 anos. Um dos funcionários se aposentou com 60 anos, saindo da empresa. A média de idade dos 10 funcionários restantes passou a ser:

a) 40 anos.

b) 39,8 anos.

c) 38,9 anos.

d) 38 anos.

e) 37,8 anos.

RESPOSTA: m = (11 x 40 - 60) / 10 = 380 / 10 = 38 anos

LETRA: D = 38 anos

Moda (Mo)

Em estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais freqüente de um grupo de valores observados.

No exemplo do grupo de idades de 2, 3, 2, 1, 2, 50 anos, a moda é 2 (Mo = 2) e demonstra mais eficiência para caracterizar o grupo do que a media aritmética.

No caso de um aluno que anotou, durante dez dias, o tempo gasto em minutos para ir de sua casa à escola e cujos registros foram 15mim, 14mim, 18mim, 15mim, 14mim, 25mim, 16mim, 15mim, 15mim e 16 mim, a moda é 15mim, ou seja, Mo = 15mim.

Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0; 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 7,5 e que a distribuição é bimodal.

Observação: Quando não há repetição de números, como, por exemplo, para os números 7, 9, 4, 5 e 8, não há moda.

Exercício proposto

28)Considere os números 126, 130, 126 e 102 e calcule:

      a)     A média aritmética (Ma)
      RESPOSTA: (126+130+102+126)/4 
                          484 / 4 = 121

      b)    A média aritmética ponderada (MP), com pesos 2, 3, 1 e 2, respectivamente;

RESPOSTA: 121,5

      c)  A moda (Ma).
        RESPOSTA:(126+126)/2

                           252 / 2 = 126

     

Mediana (Me)

A mediana é outra medida de tendência central.

Assim dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será:

·         O número que ocupar a posição central se n for impar.

·         A média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par.

Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7.

 Em ordem crescente, temos:

                          0, 0, 1, 2, 2, 2, 3,  3  3, 4, 4, 5, 5, 7, 7

                             7   valores        ↓      7 valores

                                                  Me

 Como 15 é impar, o termo médio é o 8º.

Logo, a mediana é 3. Simbolicamente, Me = 3.

As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos.

Para determinar a mediana desses valores, colocamos inicialmente na ordem crescente ( ou decrescente): 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17.

Como temos um numero par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais, que são o 4º e o 5º termos.

Logo, a medida dada por:

           Me = 14 + 16 = 30 =15

                        2          2   

     

Simbolicamente, Me = 15 anos.

Exercícios propostos

29)  Durante os sete primeiros jogos de um campeonato, um time marcou, respectivamente, 3, 2, 1 , 1, 4, 3 e 2 gols. Determine:

      a)     A média de gols por partida (Ma)

RESPOSTA: basta somar e dividir pelo numero de partidas, assim: 3+2+1+1+4+3+2 / 7 = 2,28 gols de média aproxima 2,3

      b)    A moda (Mo)

RESPOSTA: Moda é o que aparece com maior frequência: Então 1, 2 e 3.

    

      c)     A mediana (Me)

RESPOSTA: Mediana 2

Coloca os números em ordem crescente e pega o do meio:

1,1,2,2,3,3,4

30)  De segunda-feira a sábado, os gastos com alimentação de uma pessoa foram 15, 13 , 12,10,14 e 14 reais. Determine:
a)     a média diária de gastos (MA);
RESPOSTA: 15+13+12+10+14+14 = 78 / 6 = 13 reais

b)    a moda (Mo);
RESPOSTA: 14

c)     a mediana (Me).

Colocam-se todos os valores em ordem crescente e pegue o do meio... Se for número par. some os dois números do meio e divida por 2.

RESPOSTA: 13+41/2=13,5

Média aritmética, moda e mediana com base nas tabelas de frequências.

Utilizando os valores (números ou intervalos) e as frequência absolutas das tabelas de frequência das variáveis quantitativas, podemos calcular a MA, a Mo e Me de seus valores.

Número de irmãos	FA
0	8
1	15
2	12
3	5
Total	40

Exemplos:

Pesquisa sobre “ numero de irmãos” de cada aluno de uma classe.

Média aritmética

Observação: Embora 1,35 irmão aparentemente seja um absurdo, é correto um valor desse tipo, assim como, 3,5 gols por partida, 7,2 medalhas por Olimpíada, etc., pois a média aritmética é uma medida de tendência.

Moda:

A maior frequência é de 15, que corresponde ao valor 1 irmão.  Logo, Mo = 1 irmão.

Mediana:

Como o total de frequências é 40 (numero par), os valores centrais são o 20º e o 21º.

( 20 =20 e 20+1= 21)

   2

Se colocados na ordem crescente, virão os 8 valores corresponde a 0 irmão, seguidos dos 15 valores de 1 irmão, seguidos dos 15 valores de 1 irmão e assim por diante. Então, o 20º e o 21º valor serão, ambos, 1 irmão. Logo:

Exercícios propostos

31)  Determine a Ma, Me e a Mo a partir das tabelas de frequência.

a)     “Idade” (em anos) em um grupo de 10 pessoas:

Idade (em anos)	FA
13	3
14	2
15	4
16	1

RESPOSTA: Me= 13+14+15+16= 58/4 = 14,5

MA=14,3

Mo=15

b)    "Altura" (em metros) em um grupo de 21 pessoas:

Altura(m)	FA
1,61 – 1,65	3
1,65 – 1,69	6
1,69 – 1,73	5
1,73 – 1,77	4
1,77 – 1,81	3

RESPOSTA: MA=1,71

Me=1,17

Mo=1,67

 32)

O histograma mostra a distribuição salarial (em reais) dos funcionários de uma empresa. Usando os valores médios intervalos, construa o polígono do histograma e, calcule a MA, a Mo e a Me.

RESPOSTA:

Me=500+600+700+800+900+1000=4500/6=750

Mo=850

MA=745

     33)  Uma prova com 5 testes foi aplicada em uma classe. O levantamento estatístico dos acertos foi registrado no seguinte gráfico:
     Determine a partir do gráfico:
     a)     O numero de alunos de classe;
       RESPOSTA: 40 alunos
   
     b)    A porcentagem da classe que acertou os 5 testes;
    RESPOSTA: 12,5%

    c)     A porcentagem da classe que acertou 3 ou mais testes;
    RESPOSTA: 75,5%

   d)    A MA, a Mo e a Me de acertos por pessoa.
    RESPOSTA: MA=3,15; Mo=3; Me=3.

Representação gráfica

3 Representação gráfica

·

A representação fornece uma visão de conjunto mais rápida que a observação direta dos dados numéricos. Por isso, os meios de comunicação com frequência oferecem a informação estatística por meio de gráficos.

Consideremos uma situação em que, na votação para representante e vice - representante da 1ª série do ensino médio, um aluno anota os votos com um “X” ao lado do nome do candidato enquanto seus colegas votam. Ao terminar a votação, podemos observar o seguinte “desenho”:

Não precisamos contar os votos para saber quem foi eleito. Pelo “xis”, notamos que Adriano foi o escolhido para representante e Luciana para vice.

Com uma simples olhada, obtemos a informação de que necessitamos. Essa é uma característica importante dos gráficos estatísticos.

Gráfico de segmentos

A tabela que segue mostra a venda de livros em uma livraria no segundo semestre de determinado ano.

Meses do segundo semestre	Número de livros vendidos
Julho	350
Agosto	300
Setembro	400
Outubro	400
Novembro	450
Dezembro	500

A situação do exemplo estabelece uma correspondência que pode ser expressa por pares ordenados (julho, 350), (agosto, 300), etc. usando eixos cartesianos, localizamos os seis pares ordenados e construímos um gráfico de segmentos.

Os gráficos de segmentos são utilizados principalmente para mostrar a evolução das frequências dos valores de uma variável durante certo período.

A posição de cada segmento indica crescimento, decréscimo ou estabilidade
.Já a inclinação do segmento sinaliza a intensidade do crescimento ou do decréscimo.

·     *  De julho para agosto as vendas caíram:

·  *  De setembro para outubro as vendas permaneceram estáveis;

·     *  O crescimento de agosto para setembro foi maior que o de outubro para novembro;

·      * O mês com maior numero de vendas foi dezembro;
     * No mês de outubro foram vendidos 400 livros.

Exemplos:

1)   Crescimento da população brasileira de 1940 a 2000

 2)    Saldo da balança comercial brasileira em 2006.

Exercícios proposto

10) Utilize o gráfico de segmentos do exemplo dado na pagina anterior e responda

a) em que períodos o segundo semestre as vendas subiram?
RESPOSTA: De agosto a setembro e de outubro a dezembro.

b) em qual destes dois meses as vendas foram maiores: julho ou outubro?
RESPOSTA: Outubro

c)em que mês do semestre as vendas foram menores?
RESPOSTA: Agosto

d) em que mês foram vendidos 450 livros?
RESPOSTA: Novembro

11) Um aluno apresentou durante o ano letivo o seguinte aproveitamento numa certa disciplina: primeiro bimestre, nota 7; segundo bimestre, nota 6; terceiro bimestre, nota 8; e quarto bimestre, nota 8. Construa um gráfico de segmentos para essa situação e, com base neles, tire algumas conclusões.
RESPOSTA:
*Houve uma queda de rendimento do 1º para o 2º bimestre;
*Houve uma melhora de rendimento do 2º para o 3º  bimestre;
*Houve uma conservação no rendimento do 3º para o 4º  bimestre.

12) Uma professora anotou o numero de faltas dos alunos, durante um semestre, de acordo com os dias da semana. Observe as anotações, construa o gráfico de segmentos e tire conclusões: segunda – feira, 64 faltas: terça – feira, 32; quarta – feira, 32; quinta – feira,48; sexta – feira, 60.
RESPOSTA:
*Na segunda - feira está registrado o maior índice de faltas.
*Na terça - feira e na quarta está registrado o menor índice de faltas.
*Na quinta - feira e na sexta, o índice volta a subir.

13) Analise o gráfico da introdução do capítulo ( aqui reproduzido) e responda:

a) Em qual mês de 2009 o saldo da balança comercial brasileira foi menor?
RESPOSTA: Janeiro

b)Em qual mês de 2009 o saldo foi maior?
RESPOSTA:Junho

c) O que ocorreu com o saldo da balança comercial brasileira de agosto a setembro de 2009?
RESPOSTA: Decresceu

d) De quantos milhões de dólares cresceu o saldo de março para abril?

RESPOSTA: 3695 - 1757 = 1938 milhões de dólares

Gráfico de barras

   

Desempenho em Química	FA	FR
Insuficiente	6	15%
Regular	10	25%
Bom	14	35%
Ótimo	10	25%
Total	40	100%

Com base no “desempenho em Química” demonstrado pelos alunos de uma classe, um professor elaborou a seguinte tabela:

Com os dados da tabela é possível construir o gráfico de barras:

Exemplos

     1)   Consumo de energia elétrica em uma residência ( em 2009) 

   2) Tempo que as crianças e os jovens (entre 8 e 17 anos) ficaram, em média, por mês, conectados á internet (em 2009):

Exercícios proposto

14) A partir da variável “ numero de irmãos” na tabela da pagina, construa um gráfico de barras.
RESPOSTA:

15)Durante uma hora foram anotados os tipo de veículos que passaram pela rua de onde está situada uma escola e foram obtidos os seguintes dados: T,T,T,M,A,T,T,M,T,B,B,T,T,A,T,T,C,M,T,T,T,C,B,T,T,T,T,T,A,T,T,T,M,C,T,T,T,T,B,T,T,M,B,A (M: motocicleta; C: caminhão; B: bicicleta; A: Ambulância; T: carro). Construa um gráfico de barras que corresponda a essa pesquisa.
RESPOSTA:

16) As áreas das superfícies dos estados da região sudeste do Brasil, em valores  aproximados são: SP, 250.000 Km2  , Es, 46.000 Km2 , RJ, 44.000 Km2 , MG,  590.000 Km2 . Construa um gráfico de barras registrando essa distribuição.

RESPOSTA:

17) Em uma eleição para representante de classe, os candidatos foram Ricardo, Paula e Fausto.Observe o resultado da votação no gráfico de barras, em que estão especificados os votos das mulheres e os dos homens e em seguida, responda:

a)Quantos alunos votaram?

RESPOSTA: 40 Alunos

Desses, quantas mulheres e quantos homens?

RESPOSTA: Mulheres: 21; Homens: 19.

b)Quantos votos obteve a candidata Paula?

RESPOSTA: 12

c)Quantas mulheres votaram em Ricardo?

RESPOSTA: 3

d)Qual a porcentagem de votos recebidos por Fausto?

RESPOSTA: 50%

Gráfico de setores

Em shopping Center há três salas de cinema, e o número de espectadores em cada uma delas num determinado dia da semana foi de 300 na sala A, 200 na B e 500 na C.  Veja essa situação representada em uma tabela de frequências e depois em gráficos de setores:

Em cada gráfico de setores o circulo todo indica o total (1000 espectadores ou 100%) e cada setor indica a ocupação de uma sala. Na construção do gráfico de setores, determina-se o ângulo correspondente a cada setor por regra de três. Veja como exemplo o da sala A:

Usando a frequência absoluta, vem:

300/1000= X/360º

1000X=108000º

X=108º

Usamos a frequência relativa ( em %), temos:

30/100=x/360º

100X=10800

X=108º

Exemplos:

1)   Leitores de um jornal avaliam a manchete do dia anterior:

 2)Perfil dos ouvintes de uma emissora de rádio:

 Exercícios propostos 

18) Em uma eleição concorreram os candidatos A, B e C e, apurada a primeira urna, os votos foram os seguintes: A,50 votos; B, 80 votos; C, 60 votos; (BN), 10 votos. Com base nesses dados construa:

a)A tabela de frequência dessa variável;

RESPOSTA:

b)O Gráfico de barras, relacionando os valores da variável com as respectivas frequências absoluta;

RESPOSTA:

c) O gráfico de setores, relacionando os valores da sua variável com suas porcentagens.

RESPOSTA:

19) Luísa é organizada e para mostra quanto tempo gasta com sua atividade construiu um gráfico de setores. Observe o gráfico e responda:

a) Quantas horas por dia Luísa estuda em casa?
RESPOSTA: 3 h 36 min

b)Que porcentagem do dia ela gasta para dormir?

RESPOSTA: 30%

Construa também o gráfico de barras correspondente. 

Histograma

Altura (cm)	FA	FR
140  150	6	15%
150  160	10	25%
160  170	12	30%
170  180	8	20%
180  190	4	10%

Quando uma variável tem seus valores indicados por classes (intervalos), é comum o uso de um tipo de gráfico conhecido por histograma.

Exemplo:

Consideremos a “altura” (em centímetros) dos alunos de uma sala, agrupada em intervalos, e a seguir os histogramas correspondentes às frequências absolutas e relativas.

      

·         Histograma com as classes (intervalos) relacionadas às frequências absolutas:

·         Histograma com as classes relacionadas às frequências relativas (em porcentagem):

Às vezes usamos como representante de cada classe o valor médio correspondente (por exemplo, 155 representa a classe 150├-- 160).

.Os segmentos que ligam em sequência os pontos médios das bases superiores formam um gráfico de segmentos conhecido como polígono do histograma, que será usado em assuntos posteriores.

Exemplo

Gols marcados em vários momentos da partida, nas quatro primeiras rodadas do campeonato brasileiro de futebol.

Exercício proposto

20) Fazendo o levantamento dos salários dos vinte funcionários de um escritório, foram obtidos  os seguintes valores em reais: 650, 800, 720, 620, 700, 750, 780, 680, 720, 600, 846, 770, 630, 740,  680, 640, 710, 750, 680 e 690. Com base neles, construa:

a) a tabela de frequências com 5 classes;

RESPOSTA:

b) o histograma correspondente relacionando faixa salarial e frequência absoluta.

RESPOSTA:

                                                          21)a temperatura máxima do dia em uma cidade foi anotada durante vinte dias e apresentou os seguintes dados : 30º C, 32 , 31 ,33 ,28.5 ,33.5 ,27 ,30 , 34, 30.5, 28, 30,5 , 29.5, 26 , 31 , 31, 29, 32, 31.5ºC. Construa o histograma correspondente com os valores da variável em 5 intervalos.
RESPOSTA:

22) Os quarenta alunos de uma classe optaram pelo estudo de uma língua estrangeira, entre espanhol, francês, inglês e italiano. Veja o gráfico de barras ao lado, que registra a escolha e, a partir dele, construa a tabela de frequências e o gráfico de setores.

RESPOSTA: