Medidas de tendência central

4 Medidas de tendência central

Com base na idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo.

Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só temperatura que fornece uma ideia aproximada de todo o período.

Em situações como essas, o número obtido é a medida da tendência central dos vários números usados. A média aritmética é a mais conhecida entre as medidas de tendência central. Além dela vamos estudar também a moda e a mediana.

Média aritmética (MA)

Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que:

MA= 22 + 20 + 21+ 24 + 20 = 107 = 21,4

                         5                   5

  Dizemos, então, que a média aritmética ou simplesmente a media de idade do grupo é 21,4 anos.

Se, ao medir de hora em hora a temperatura em determinado local, registrando-se 14ºC ás 6h, 15ºC ás 7h, 15ºC ÁS 8H, 18ºC ás9h, 20º C ás 10h e 23ºC ás 11h, observamos que:

MA= 14+15+15+18+20+23 = 105 = 17,5

                         6                   6

Dizemos, então, que no período das 6h ás 11h a temperatura média foi 17,5ºC.

No caso de um aluno que realizou diversos trabalhos durante o bimestre e obteve as notas7, 5,8,5; 10,0 e 7,0, observamos que:

MA= 7,5+8,5+10,0+7,0 = 33 = 8,25

                 4                    4

Dizemos, então que nesse bimestre o aluno teve média 8,25.

Assim, generalizando, podemos afirmar que, dados os n valores X1,X2,X3, ...Xn de uma variável, a media aritmética é o numero obtido as seguinte forma:

Média aritmética pondera

Vejamos agora, o caso de um aluno que realiza vários trabalhos com pesos diferentes, isto é, com graus de importância diferentes. Se no decorrer do bimestre ele obteve 6,5 na prova (peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 no trabalho de equipe (peso 2), a sua média, que neste caso é chamada média aritmética ponderada, será:

MP = 2.6,5 + 3.7,0 + 1. 6,0 +2.7,0 = 13 +21 +6 + 14 = 54  = 6,75

                         2 +3 +1 +2                        8               8   

Quando calculamos a média aritmética de números que se repetem, podemos simplificar. Dessa maneira, para obter a média aritmética de 7,7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11 e 11 observamos que:

MA = 3.7+5.9+2.11 = 21+45+22 = 88  = 8,8

            3+5+2                 10         10

 

     

Dizemos, então que 8,8 é a média aritmética dos números 7, 9 e 11 com frequência 3, 5 e 2 respectivamente.

Observe que também é um exemplo de média ponderada, com os pesos sendo a frequência 3,5 e 2.

                                                                                                                   

A média aritmética é usada como medida de tendência central, ou seja, como forma de, por meio de um único numero, dar uma ideia das características de determinado grupo de números. No entanto, é importante ressaltar que em algumas situações a presença de um valor bem maior ou bem menor que os demais faz com que a media aritmética não consiga traçar o perfil correto do grupo.

Consideremos por exemplo, um grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2, 50 anos. A média, que é de 10 anos, não demonstra as características desse grupo em termos de idade. Em casos como esse são usadas outras medidas de tendência central, como moda e a mediana.

Exercícios propostos

23) Um time de futebol realizou algumas partidas e os resultados foram 3 a 1, 4 a 2, 1 a 1, 0 a 0, 3 a 2, 2 a 1 e 1 a 0. Sabendo que o time não perdeu nenhuma partida, calcule a média dos gols:

a) marcados

RESPOSTA:   M = (3 + 4 + 1 + 0 + 3 + 2 + 1)/7

                       M = 14/7 = 2 

b)sofridos

RESPOSTA:  M = (1 + 2 + 1 + 0 + 2 + 1 + 0)/7

                      M = 7/7 = 1

24)Se um aluno já fez dois trabalhos e obteve 8,5 e 5,0 qual deve ser a nota do terceiro trabalho para que a média aritmética dos três seja 7,0?

RESPOSTA:8,5 + 5,0 + x / 3 =

                   7,0 13,5 + x = 21,0 x =

                   21,0 – 13,5 x =

                   7,5

25) Qual é a média de idade de um grupo em que há 6 pessoas de 14 anos, 9 pessoas de 20 e 5 pessoas de 16 anos?

RESPOSTA: (14.6 + 9.20 + 5.16) / (6 + 9 + 5) 344/20 = 17 anos 

26) Calcule a média de um aluno que obteve no bimestre 8,0 na prova (peso 2) 7,0 na pesquisa  (peso 3), 9,0 no debate (peso 1) e 5,0 no trabalho de equipe (peso 2).

 RESPOSTA: (8.2 + 7.3 + 9.1 + 5.2) / (2+3+1+2) 16+21+9+10 / 8  56 / 8 = 7

27) A média das idades dos 11 funcionários de uma empresa era de 40 anos. Um dos funcionários se aposentou com 60 anos, saindo da empresa. A média de idade dos 10 funcionários restantes passou a ser:

a) 40 anos.

b) 39,8 anos.

c) 38,9 anos.

d) 38 anos.

e) 37,8 anos.

RESPOSTA: m = (11 x 40 - 60) / 10 = 380 / 10 = 38 anos

LETRA: D = 38 anos

Moda (Mo)

Em estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais freqüente de um grupo de valores observados.

No exemplo do grupo de idades de 2, 3, 2, 1, 2, 50 anos, a moda é 2 (Mo = 2) e demonstra mais eficiência para caracterizar o grupo do que a media aritmética.

No caso de um aluno que anotou, durante dez dias, o tempo gasto em minutos para ir de sua casa à escola e cujos registros foram 15mim, 14mim, 18mim, 15mim, 14mim, 25mim, 16mim, 15mim, 15mim e 16 mim, a moda é 15mim, ou seja, Mo = 15mim.

Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0; 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 7,5 e que a distribuição é bimodal.

Observação: Quando não há repetição de números, como, por exemplo, para os números 7, 9, 4, 5 e 8, não há moda.

Exercício proposto

28)Considere os números 126, 130, 126 e 102 e calcule:

      a)     A média aritmética (Ma)
      RESPOSTA: (126+130+102+126)/4 
                          484 / 4 = 121

      b)    A média aritmética ponderada (MP), com pesos 2, 3, 1 e 2, respectivamente;

RESPOSTA: 121,5

      c)  A moda (Ma).
        RESPOSTA:(126+126)/2

                           252 / 2 = 126

     

Mediana (Me)

A mediana é outra medida de tendência central.

Assim dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será:

·         O número que ocupar a posição central se n for impar.

·         A média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par.

Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7.

 Em ordem crescente, temos:

                          0, 0, 1, 2, 2, 2, 3,  3  3, 4, 4, 5, 5, 7, 7

                             7   valores        ↓      7 valores

                                                  Me

 Como 15 é impar, o termo médio é o 8º.

Logo, a mediana é 3. Simbolicamente, Me = 3.

As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos.

Para determinar a mediana desses valores, colocamos inicialmente na ordem crescente ( ou decrescente): 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17.

Como temos um numero par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais, que são o 4º e o 5º termos.

Logo, a medida dada por:

           Me = 14 + 16 = 30 =15

                        2          2   

     

Simbolicamente, Me = 15 anos.

Exercícios propostos

29)  Durante os sete primeiros jogos de um campeonato, um time marcou, respectivamente, 3, 2, 1 , 1, 4, 3 e 2 gols. Determine:

      a)     A média de gols por partida (Ma)

RESPOSTA: basta somar e dividir pelo numero de partidas, assim: 3+2+1+1+4+3+2 / 7 = 2,28 gols de média aproxima 2,3

      b)    A moda (Mo)

RESPOSTA: Moda é o que aparece com maior frequência: Então 1, 2 e 3.

    

      c)     A mediana (Me)

RESPOSTA: Mediana 2

Coloca os números em ordem crescente e pega o do meio:

1,1,2,2,3,3,4

30)  De segunda-feira a sábado, os gastos com alimentação de uma pessoa foram 15, 13 , 12,10,14 e 14 reais. Determine:
a)     a média diária de gastos (MA);
RESPOSTA: 15+13+12+10+14+14 = 78 / 6 = 13 reais

b)    a moda (Mo);
RESPOSTA: 14

c)     a mediana (Me).

Colocam-se todos os valores em ordem crescente e pegue o do meio... Se for número par. some os dois números do meio e divida por 2.

RESPOSTA: 13+41/2=13,5

Média aritmética, moda e mediana com base nas tabelas de frequências.

Utilizando os valores (números ou intervalos) e as frequência absolutas das tabelas de frequência das variáveis quantitativas, podemos calcular a MA, a Mo e Me de seus valores.

Número de irmãos	FA
0	8
1	15
2	12
3	5
Total	40

Exemplos:

Pesquisa sobre “ numero de irmãos” de cada aluno de uma classe.

Média aritmética

Observação: Embora 1,35 irmão aparentemente seja um absurdo, é correto um valor desse tipo, assim como, 3,5 gols por partida, 7,2 medalhas por Olimpíada, etc., pois a média aritmética é uma medida de tendência.

Moda:

A maior frequência é de 15, que corresponde ao valor 1 irmão.  Logo, Mo = 1 irmão.

Mediana:

Como o total de frequências é 40 (numero par), os valores centrais são o 20º e o 21º.

( 20 =20 e 20+1= 21)

   2

Se colocados na ordem crescente, virão os 8 valores corresponde a 0 irmão, seguidos dos 15 valores de 1 irmão, seguidos dos 15 valores de 1 irmão e assim por diante. Então, o 20º e o 21º valor serão, ambos, 1 irmão. Logo:

Exercícios propostos

31)  Determine a Ma, Me e a Mo a partir das tabelas de frequência.

a)     “Idade” (em anos) em um grupo de 10 pessoas:

Idade (em anos)	FA
13	3
14	2
15	4
16	1

RESPOSTA: Me= 13+14+15+16= 58/4 = 14,5

MA=14,3

Mo=15

b)    "Altura" (em metros) em um grupo de 21 pessoas:

Altura(m)	FA
1,61 – 1,65	3
1,65 – 1,69	6
1,69 – 1,73	5
1,73 – 1,77	4
1,77 – 1,81	3

RESPOSTA: MA=1,71

Me=1,17

Mo=1,67

 32)

O histograma mostra a distribuição salarial (em reais) dos funcionários de uma empresa. Usando os valores médios intervalos, construa o polígono do histograma e, calcule a MA, a Mo e a Me.

RESPOSTA:

Me=500+600+700+800+900+1000=4500/6=750

Mo=850

MA=745

     33)  Uma prova com 5 testes foi aplicada em uma classe. O levantamento estatístico dos acertos foi registrado no seguinte gráfico:
     Determine a partir do gráfico:
     a)     O numero de alunos de classe;
       RESPOSTA: 40 alunos
   
     b)    A porcentagem da classe que acertou os 5 testes;
    RESPOSTA: 12,5%

    c)     A porcentagem da classe que acertou 3 ou mais testes;
    RESPOSTA: 75,5%

   d)    A MA, a Mo e a Me de acertos por pessoa.
    RESPOSTA: MA=3,15; Mo=3; Me=3.