Resposta dos execícios do assunto : Geometria analítica: ponto e reta

EM MANUTENÇÃO.

1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas:

a) A

b) B

c) C

d) D

e) E

Resposta

a) A (2, 5)

b) B (5, 2)

c) C (-4,3)

d) D(-1, -6)

e) E (3, -4)

2. Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os ponto

a) A (1, -2)                                                                                            Resposta:

b) D (0, 3)

c) Q (3, -2)

d) B (-3, 3)

e) P (-1, -5)

f) N (0, -4)

g) C (4, 4)

h) M (-4, 0)

i) R (3, 0)

3. No retângulo da figura, AB = 2a e BC = a. Dê as coordenadas dos vértices do retângulo

Resposta:

A(0, 0)

B(2a, 0)

C(2a, a)

D(0, a)

4) EM MANUTENÇÃO

5) O raio da circunferência da figura mede 2 unidades. Quais são as coordenadas dos pontos A, B, C e D?

Resposta:

A(2, 0)

 B(0, 2)

 C(-2, 0)

 D(0, -2)

6) Sabendo que P(a, b), com ab > O, em que quadrante se encontra o ponto P?

Resposta: P ∈ 1º quadrante ou P ∈ 3º quadrante

7)Sabendo que P(2m + 1, - 3m - 4) pertence ao terceiro quadrante, determine os possíveis valores reais de m
RESPOSTA:
Como o ponto P(2m+1, -3m-4) pertence ao 3º quadrante, as coordenadas x e y do ponto têm que ser negativas. 

2m+1 < 0 
2m < -1 
m < -1/2 

-3m-4 < 0 
-3m < 4 

m < -4/3

8. Calcule a distância entre os pontos dados:

a) A(3, 7) e B(1, 4)

RESPOSTA:
dAB² = (Ax - Bx)² + (Ay - By)²
dAB² = (2)² + (3)² = 4 + 9 = 13
dAB = √13

b) E(3, -1) e F(3, 5)

RESPOSTA:
dEF² = (Ex - Fx)² + (Ey - Fy)² 
dEF² = (0)² + (-6)² = 36 
dEF = 6 

c) H(-2, -5) e O(0, 0)

RESPOSTA:
dHO² = (Ex - Fx)² + (Ey - Fy)² 
dHO² = (-2)² + (-5)² = 4+25= 
dHO = √29

d) M(0, -2) e N( 5 , -2)

RESPOSTA:
dMN² = (Ex - Fx)² + (Ey - Fy)² 
dMN² = (5)² + (0)² = 
dMN = √25 =5

e) P(3, -3) e Q(-3, 3)

RESPOSTA:
6√ 2

f) C(-4, 0) e D(0, 3)

RESPOSTA:

dCD² = (Ex - Fx)² + (Ey - Fy)² 
dCD² = (4)² + (3)² = 
dCD = √25 =5

9. A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a

RESPOSTA:

dAB= 
√(0-a)²+(2-1)²=3² 
a²+1=9 
a²=9-1 
a²=8 
a=√8 
a=2√2

10. Qual é a distância do ponto A(cos a, sen a) ao ponto B(sen a, -cos a)?

RESPOSTA:

A(cos a, sen a) e B(sen a, -cos a):

Raiz de (sen a - cos b)² + (-cos a - sen a)² =

Raiz de sen² a - 2sen a cos a + cos² a + cos² a + 2sen a cos a + sen² a =

Raiz de sen² a + sen² a + cos² a + cos² a + 2sen a cos a - 2sen a cos a =

Raiz de 2 sen² a + 2 cos² a =

Raiz de 2 (sen² a + cos² a) =

Raiz de 2(1) =

Raiz de 2

11. Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é equidistante dos pontos A(-1, 2) e B(1, 4). Quais são as coordenadas do ponto P?

RESPOSTA:

Dist. PA = Dist. PB ---> dist de P a A = dist de P a B

Formula dist entre pontos : Raiz( (x1 - x2)² + (y1 - y2)² )

Dist PA = Raiz ( (x+1)² + (0-2)² )

Dist PA = Raiz ( x² +2x +1 +4 )

Dist PA = Raiz ( x² +2x +5 )

Dist PB = Raiz ( (x-1)² + (0-4)² )

Dist PB = Raiz ( x² -2x +1 +16 )

Dist PB = Raiz ( x² -2x +17 )

Agora igualamos as duas:

Raiz ( x² +2x +5 ) = Raiz ( x² -2x +17 ) --> podemos cortar as raizes

x²+2x +5 = x² -2x +17

x² -x² +2x +2x = 17 -5

4x = 12

x = 12/4

x = 3 --> descobrirmos a coordenada "x" de P, logo o ponto P é :

Resp: P(3 , 0)

12. A abscissa de um ponto P é -6 e sua distância ao ponto Q(1, 3) é 74. Determine a ordenada do ponto.

RESPOSTA:

Será usada a formula da distancia entre dois pontos

(1) d²=(x2-x1)²+(y2-y1)²

no caso

d=√74

x1=1

x2= -6

y2=3

y1= y a calcular substituindo na (1) fica

(2) 74=(1+6)²+(3-y)²

y²-6y+58-74=0

y²-6y- 16=0

Onde  ∆ =36+64=100

Logo y=(6+-10)/2

Então y=16/2=8

E y=-4/2= -2

RESPOSTA à ordenada do ponto P é

y=8 ou y= -2

13. Considere um ponto P(x, y) cuja distância ao ponto A(5, 3) é sempre duas vezes a distância de P ao ponto

B(-4, -2). Nessas condições, escreva uma equação que deve ser satisfeita com as coordenadas do ponto P.

RESPOSTA:

dPA=sqrt((x-5)²+(y-3)²)

dPB=sqrt((x+4)²+(y+2)²)

dPA=2dPB

(x-5)²+(y-3)²=4.[(x+4)²+(y+2)²]

x²-10x+25+y²-6y+9=4[x²+8x+16+y²+4y+4]

x²-10x+25+y²-6y+9=4x²+32x+64+4y²+16y+16

3x²+42x+3y²+22y+46=0

14. Demonstre que um triângulo com vértices A(0, 5), B(3, -2) e C(-3, -2) é isósceles e calcule o seu perímetro.

RESPOSTA

A(0, 5), B(3, -2) e C(-3, -2)

Dist.A,B = raiz[(0-3)²+ (5-(-2)²] = 7,61

Dist. B,C = raiz[(3-(-3)²+ (-2)-(-2)²] = 6,0

Dist. C,A = raiz[(0-(-3)²+ (5-(-2)²] = 7,61

Dois lados iguais, então triângulo é isósceles.

Perímetro: P = 6 + 2 x 7,61 = √21 = 2√58 + 6

15. Determine o ponto médio do segmento de extremidades:

a) A(-1,6) e B(-5, 4)

RESPOSTA:

b) AxM =(-1 + (-5)) / 2 = -3
yM= (6 + 4) / 2= 5
M= (-3,5) (1, -7) e B(3, -5)

RESPOSTA:

xM=(1+3) / 2 = 4/2 = 2

yM=(-7-5) / 2 = -12/2= -6

M(2,-6)

c) A(-1,5) e B(5, -2)

RESPOSTA:

xM=(5-1) / 2 = 4 / 2 = 2

yM=(5-2) /2 = 3/2

M(2, 3/2)

d) A(-4, -2) e B(-2, -4)

RESPOSTA:

A (-4,-2) eB (-2,-4)

xM=(-4-2) / 2 = -6 / 2 = -3

yM=(-4-2) / 2 = -6 / 2 = -3

M=(-3;-3)

16 Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(-2, -2). Sabendo que M(3, -2) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x, y), que é a outra extremidade do segmento.

RESPOSTA:

m=(x1+x2/2) , (y1+y2/2)

3=-2+x/2

2*3=-2+x

6=-2+x

x=8

my=y1+y2/2

-2=-2+y/2

2*-2=-2+y

-4=-2+y

y=-2

ponto b(8,-2)

17. Calcule os comprimentos das medianas do triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(4, 2) e C(2, 4).

RESPOSTA:

Pontos:

A(0,0)

B(4,2)

C(2,4)

Mediana relativa no lado C ponto meio entre A e B

Mx = (Ax + Bx)/2 = (0 + 4)/2 = 2

My = (Ay + By)/2 = (0 + 2)/2 = 1

M(2,1)

a mediana mc é a distancia entre M e C

mc² = (Mx - Cx)² + (My - Cy)²

mc² = (2 - 2)² + (1 - 4)² = 3²

mc = 3

Mediana relativa no lado B ponto meio entre A e C

Mx = (Ax + Cx)/2 = (0 + 2)/2 = 1

My = (Ay + Cy)/2 = (0 + 4)/2 = 2

M(1,2)

A mediana mb é a distancia entre M e B

mb² = (Mx - Bx)² + (My - By)²

mb² = (1 - 4)² + (2 - 2)² = 3²

mb = 3

Mediana relativa no lado A ponto meio entre B e C

Mx = (Bx + Cx)/2 = (4 + 2)/2 = 3

My = (By + Cy)/2 = (2 + 4)/2 = 3

M(3,3)

A mediana ma é a distancia entre M e A

ma² = (Mx - Ax)² + (My - Ay)²

ma² = (3 - 0)² + (3 - 0)² = 2*3²

ma = 3√2, 3 e 3

18 Num triângulo isósceles, a altura e a mediana relativas à base são segmentos coincidentes. Calcule a medida da altura relativa à base BC de um triângulo isósceles de vértices (5, 8), B(2, 2) e C(8,2).

RESPOSTA:

XM = (xb + xc)/2 = (2+8)/2 = 5

YM = (yb + yc)/2 = (2+2)/2 = 2

Distância

d(A,M) = sqrt + (xa-xm)² + (ya - ym)²]

sqrt = [ (5-5)² + (8-2)²] = sqrt 36 = 6

R= 6

19. Num paralelogramo ABCD, M (1, -2) é o ponto de encontro das diagonais AC e BD. Sabe-se que A (2, 3) e B(6, 4) são dois vértices consecutivos. Uma vez que as diagonais se cortam mutuamente ao meio, determine as coordenadas dos vértices C e D.

RESPOSTA:

M(1, -2) , A(2, 3) e C( xc,yc )

C = (xA+xC)/2 => 1 = (2+xc)/2 => xc =0

  = (yc+3)/2 => -2 = ( yc+3)/2=> yc = -7

C = ( 0,-7)

B(6, 4), M(1, -2)

D = (xD+xB)/2 = 1 => (xD+6)/2 = 1 => xD = -4 

  = (yD+yB)/2 = -2=> (yD+4)/2 = -2 => yD = -8

D = (-4,-8)

20. (EEM-SP) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos lados do triângulo são M(-2, 1), N(5, 2) e P(2, -3).

RESPOSTA:

A(a , b )

B(x , y )

C(p , q )

a + x / 2 = - 2

a + x = - 4

a = - 4 - x

b + y / 2 = 1

b + y = 2

b = 2 - y

a + p / 2 = 5

a + p = 10

a = 10 - p

b + q / 2 = 2

b + q = 4

b = 4 - q

x + p / 2 = 2

x + p = 4

x = 4 - p

y + q / 2 = - 3

y + q = - 6

y = - 6 - q

a = a

- 4 - x = 10 - p

- x = 10 - p + 4

- x = 14 - p

x = p - 14

x = 4 - p

p - 14 = 4 - p

2p = 18

p = 9

x = p - 14

x = 9 - 14

x = - 5

b = b

2 - y = 4 - q

- y = 4 - q - 2

- y = 2 - q

y = q - 2

y = - 6 - q

q - 2 = - 6 - q

2q = - 4

q = - 2

y = - 2 - 2

y = - 4

b = 4 - q

b = 4 + 2

b = 6

a = 10 - p

a = 10 - 9

a = 1

( a , b ) = ( 1 , 6 )

(x , y ) = ( - 5 , - 4 )

( p , q ) = ( 9 , - 2 )

21. As coordenadas dos pontos que dividem em três partes iguais o segmento de extremos (-2  -1) e (3 , 2), são:

RESPOSTA:

Dx = 3 - (-2) -----> Dx = 5 ----> Dx/3 = 5/3

Dy = 2 - (-1) -----> Dy = 3 ----> Dy/3 = 1

Primeiro ponto A:

xA = -2 + 5/3 ----> xA = - 1/3

yA = - 1 + 1 -----> yA = 0

Segundo ponto B:

xB = - 1/3 + 5/3 ----> xB = 4/3

yB = 0 + 1 -----------> yB = 1

A (-1/3, 0) ; B(4/3, 1)

22. Determine o baricentro do triangulo de vértices A(4,0), B(-1,1) e C(-3,3)?

RESPOSTA:

xG = 4+(-1)+(-3)=0/3=0

yG  = 0+1+3=4/3=1.33

G=(0,1)

23. Verifique se os pontos:

     a)     A (0, 2), B(-3, 1) e C(4, 5) estão alinhados;

Vamos definir um vetor

v= (b-a)= (-3,-1)

Se estiverem alinhados (4,5) é múltiplo desse vetor

x(-3,-1)=(4,5)

-3x=4 x=-4/3

-x=5 =-5

Como -4/3 não pode ser igual a -5 eles estão desalinhados

     b)    A (-1, 3), B (2, 4) e C(-4, 10) podem ser os vértices de um triângulo.

Vamos ver um vetor ente (-1,3) e (2,4)

v=(3,1)

x(3,1)=(-4,10)

3x=-4, x=-4/3

 x=10

Como é absurdo x ser 10 e -4/3 ao mesmo tempo, temos que eles não estão alinhados e são vértices.

24. Determine x de maneira que os pontos A (3, 5), B (1, 3) e C(x, 1) sejam os vértices de um triângulo.

A equação da reta que passa por A e B é:

y – 5 = (3-5)/(1-3)•(x-3)

y-5 = x-3

y = x +2

Se c pertence à reta,

1 = x + 2

x = -1

25. Considerando uma reta r que passa pelos pontos A (-1, -2) e B(4, 2) intersecta o eixo y no ponto P, determine as coordenadas do ponto P.

O coeficiente angular desta reta é m = 4/5.

A equação desta reta é dada por (Usando o ponto A para encontrar):

y + 2 = 4/5(x + 1)

y = 4/5x - 6/5

Logo esta reta corta o eixo y no ponto (0, -1,2)

26 Determine o coeficiente angular (ou declividade) da reta que passa pêlos pontos:

     a)     A(3, 2) e B(-3, -1)

Yb - Ya / Xb - Xa =

-1 - 2 / -3 - 3 =

-3/-6 =

1/2

   b)    A(2, -3) e B(-4, 3)

 Yb - Ya / Xb - Xa =

3 - (-3) / -4 - 2 =

6 / -6 =

-1

c) P1(3, 2) e P2(3, -2)

Yb - Ya / Xb - Xa =

-2 - 2 / 3 - 3 =

-4/0

Não existe

d) P1(-1, 4) e P2(3, 2)

Yb - Ya / Xb - Xa =

2-4/3+1=

-1/2

e) P(5, 2) e Q(-2, -3)

Yb - Ya / Xb - Xa =

-3-2/-2-5=

7/5

f) A(200, 100) e B(300, 80)

 Yb - Ya / Xb - Xa =

80-100/300-200=
-20/100=

-1/5

27 Se a é a medida da inclinação de uma reta e m é a sua declividade (ou coeficiente angular), complete a tabela:

m = tg( alfa)

Portanto,

m = tg (0º) => 0

m = tg (30º) => raiz de 3 / 3

m = tg (45°) => 1

m = tg (60°) => raiz de 3

m = tg (90°) => oo (infinito)

m = tg (120°) => - raiz de 3

m = tg (135°) => - 1

      m = tg (150°) => - raiz de 3 /3 

28 Determine a equação da reta que satisfaz as seguintes condições:

     a)     A declividade é 4 e passa pelo ponto A(2,-3).

y+3= 4(x-2)

y=4x-11 = 0

   b)    A inclinação é de 45° e passa pelo ponto P(4, 1).

y-1=1(x-4)

y=x-3 = 0

a)     Passa pelo ponto M(-2, -5) e tem coeficiente angular O.

 y+5=0(x+2)

y=-5

   b)    Passa pelos pontos A(3, 1) e B(-5, 4).

y-1= (4-1)/(-5-3) ·(x-3) 

y=3X+8-17=0

    c)     Passa pelo ponto P(-3, -4) e é paralela ao eixo y.

X-3

29 Verifiquem se o ponto P(2, 3) pertence à reta r que passa pelos pontos A(1, 1) e B(0, -3).

|2 3 1 | 2 3

|1 1 1 | 1 1

|0 -3 1 | 0 -3

D= (2+0-3)-(0-6+3)

D= -1 +3= 2

ou

a= (-3-1)/(0-1)= 4

y-1= 4(x-1)

y= 4x-3

y= 4*2-3= 5

2= 4x-3

x= 5/4

Não pertence a reta

30. Dada à reta que tem a equação 3x + 4y = 7 determine sua declividade

3.x+4.y=7

4.y = - 3.x + 7

y = (-3.x + 7) / 4

 y = -3/4.x + 7/4

 A declividade da reta é -3/4

 31 Determine a equação da reta de coeficiente angular m = -2 e que intersecta o eixo y no ponto A(0,-3)

y = -2x-3

32 Uma reta passa pelo ponto P(- 1, -5) e tem coeficiente angular m = 2/1. Escreva a equação da reta na forma reduzida.

 y = 1/2 x -9 /2 

33 Escreva na forma reduzida a equação da reta que passa pelos pontos P1,(2, 7) e P2(- 1, -5).

y = 4x – 1

34 Escreva a equação:

           a)     Da reta bissetriz dos quadrantes ímpares;

y=x ou x-y=0

b)    da reta bissetriz dos quadrantes pares;

y – y0 = m (x – x0).

y – (–2) = –1 (x – 2)

y + 2 = –x + 2

Y = - X

y=-x

c)     do eixo x;

y=0

d)    do eixo y.

x=0